Coordenadas afines. Punto de vista pasivo o alias

Consideremos el plano afín y tres sistemas de referencia:

Adoptemos el punto de vista pasivo, es decir, SIN transformar el plano, determinemos las coordenadas de un mismo punto P en los tres sistemas de referencia (NO cambia el punto, cambia la referencia).

P=(x,y)=(x',y')=(x'',y'')

Conociendo las coordenadas de P en una de las referencias, p.e., P=(x,y), las coordenadas de P en otra referencia se pueden calcular pre-multiplicando por la matriz inversa de la matriz que expresa, por columnas, las componentes de los vectores de la nueva referencia respecto de la antigua y del vector que une los orígenes. Concretando:  

(x',y')=(TA'3)-1 (x,y)

Nota: con GeoGebra es posible "multiplicar" una matriz 3x3 por las coordenadas de un punto o de un vector, matrices 1x2, y obtener como resultado las coordenadas de otro punto o de otro vector.   GeoGebra asume que se trata de una transformación afín, donde se usan coordenadas homogéneas: (x, y, 1) para un punto y (x, y, 0) para un vector. Ver referencia

Julio Valbuena (Jvh), Creación realizada con GeoGebra

(Trabajo realizado para el curso moodle "El plano afín. Aplicaciones" del Campus de Educastur. Ene-Jun-2011)