Coordenadas afines. Punto de vista activo o alibi

Consideremos el plano afín y tres sistemas de referencia:

Adoptemos el punto de vista activo, es decir, transformar el plano, de modo que con la transformación afín TA' la referencia R se convierta en la R', y con la transformación TA'' la referencia R se convierta en la R''. Así, un punto P se transforma, respectivamente en P' y en P'' cuyas coordenadas queremos seguir determinando respecto de la referencia canónica inicial R (cambia el punto, NO cambia la referencia).

P=(x,y)  ™ P'=(x',y')    (respecto de R)

P=(x,y)  ™ P''=(x'',y'')  (respecto de R)

Conociendo las coordenadas de P en una de las referencias, p.e., P=(x,y), las coordenadas de sus transformados P' y P'' en esa misma referencia, se pueden calcular pre-multiplicando por la matriz que expresa, por columnas, las componentes de los vectores de las referencias transformadas respecto de la antigua y del vector que une los orígenes. Concretando:  

(x',y')=(TA'3) (x,y)

Nota: con GeoGebra es posible "multiplicar" una matriz 3x3 por las coordenadas de un punto o de un vector, matrices 1x2, y obtener como resultado las coordenadas de otro punto o de otro vector.   GeoGebra asume que se trata de una transformación afín, donde se usan coordenadas homogéneas: (x, y, 1) para un punto y (x, y, 0) para un vector. Ver referencia

Julio Valbuena (Jvh), Creación realizada con GeoGebra

(Trabajo realizado para el curso moodle "El plano afín. Aplicaciones" del Campus de Educastur. Ene-Jun-2011)