SUPERFICIES

No pretendemos ofrecer aquí una colección de expresiones algebraicas correspondientes a las fórmulas de cada superficie. El interés de esta colección reside en observar la variedad de formas globales que aparecen, valorar su belleza, investigar un poco su comportamiento local (si tienen algún tipo de simetría, si son o no son regladas o doblemente regladas, desarrollables o alabeadas, cerradas o abiertas, orientables, de revolución, minimales, etc.), informar de alguna aplicación popular o curiosidad conocida, y sobre todo apreciar la relación entre cada superficie y su generatriz correspondiente.

 

Se puede limitar la parte generada de la superficie, reduciendo los límites en los que se mueven los parámetros con los deslizadores situados en la parte superior. A veces esto produce la impresión de estar "abriendo" la figura. De esta forma, podemos observar su estructura mucho mejor.

Caracola completa

Caracola "abierta"


Toro completo


Toro "abierto"

Además, algunas superficies son engendradas a partir de una función que podemos variar.

Por ejemplo, la siguiente imagen corresponde a una superficie de revolución generada por la función f(x) = exp(sin(x)):

Una superficie de revolución basada en la función que introducimos.

ALGUNOS TÉRMINOS

Superficie: objeto geométrico que posee dos dimensiones, es decir, cada uno de sus puntos espaciales de 3 coordenadas se puede definir usando sólo dos parámetros. Un poliedro es un sólido cuya superficie consta de caras planas. No incluiremos este tipo de superficies planas aquí  (tampoco incluiremos el plano ni el círculo), pues ahora nos interesan las superficies con algún tipo de curvatura, ya sea local o global.

Generatriz: también podemos definir una superficie como el lugar geométrico de las posiciones sucesivas de una línea que se mueve en el espacio siguiendo una ley determinada y continua. La línea anterior recibe el nombre de generatriz.

Superficie cerrada: es la superficie exterior de un objeto con volumen. Divide el espacio en dos zonas, una acotada y otra no acotada. Ejemplos: esfera, toro, elipsoide, cualquier poliedro. (Esta definición sólo es válida en el espacio de tres dimensiones; para dimensiones mayores, se dice que una superficie es cerrada cuando no tiene "frontera", es decir, borde. Ejemplo: la botella de Klein.)

Superficie abierta: la que no es cerrada. Ejemplos: cilindro, cono, hiperboloide.

Sección plana: intersección de la superficie con un corte plano. Aquí llamaremos a estos cortes simplemente "secciones" (supondremos que los cortes son planos).

Superficie cónica o cuádrica: corresponde a una ecuación de segundo grado en tres variables. Sus secciones son curvas cónicas (circunferencia, elipse, parábola o hipérbola). Pueden tener centro de simetría (esfera, cono, elipsoide, hiperboloide) o no tenerlo (cilindro, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico).

Superficie de revolución: aquella que se obtiene al hacer girar la generatriz alrededor de un eje. Ejemplos de revolución de rectas: cilindro, cono, hiperboloide. Ejemplos de revolución de curvas: esfera, catenoide, elipsoide, paraboloide, pseudoesfera, toro, sombrero de Sherlock.

Superficie reglada:  superficie que puede crearse a partir de una generatriz recta.

Superficie reglada desarrollable: superficie en la que todos los puntos de una generatriz cualquiera poseen el mismo plano tangente (que contiene a esa generatriz). Ejemplos: cilindro, cono. Intuitivamente, superficie que se puede construir doblando papel sin arrugarlo; o, si se prefiere, extender en un plano realizando algunos cortes con tijeras.

Superficie reglada alabeada: superficie reglada no desarrollable. Ejemplo: helicoide.

Superficie doblemente reglada: superficie alabeada en la cual por cada uno de sus puntos pasan dos generatrices rectas (ejemplos: paraboloide hiperbólico, hiperboloide de una hoja).

 

ALGUNAS SUPERFICIES


Almohada

Aislante

Bohemia
(cúpula de)

Bola anidada

Bonete cruzado

Boy
(superficie de)

Catalan
(superficie de)

Catenoide
(transformación)

Cilindro

Cola de golondrina

Concha 1
(Pseudoheliceras subcatenatum)

Concha 2
(Asteroceras)

Concha 3
(Bellerophina)

Concha 4
(Euhoplites)

Concha 5
(Nautilus)

Concha 6
(Natica stellata)

Concha 7
(Mya arenaria)

Cono

Conoide recto

Cornucopia

Coseno
(superficie)

Cubo hiperbólico

Cuerno

Dini
(superficie de)

Dupin
(ciclide anular de)

Elipsoide
(balón de rugby)

Enneper
(superficie de)

Esfera
(pelota)

Esfera retorcida

Esfera de torsión
(sacacorchos)

Esferas escaladas

Flor

Folium

Gota

Helicoide
(transformación)

Henneberg
(superficie de)

Hiperboloide
(de una hoja)

Hiperboloide
(de dos hojas)

Huevo

Jet

Klein
(botella de)

Kuen
(superficie de)

Lágrima triaxial

Luna creciente

Manzana 1

Manzana 2

Möbius
(banda de)

Möbius circular
(banda de)

Nefroide

Nudo trifolio

Ocho

Octaedro hiperbólico

Onda espiral

Ondas

Papelera

Paraboloide

Paraboloide hiperbólico
(silla de montar)

Paraguas de Whitney

Peonza

Pez

Plücker
(conoide de)

Pseudoesfera

Regladas
(superficies)

Revolución
(superficies de)

Richmond
(superficie de)

Romana
(de Steiner)

Seno
(superficie)

Silla de mono

Sombrero de Sherlock

Toro
(donut)

Toro espiral helicoidal
(caracola)

Toro helicoidal
(muelle)

Toro umbilical

Trompeta de Gabriel

Wallis
(arista cónica de)

Zindler
(conoide de)

Rafael Losada Liste