Los números reales: concepto, construcción y determinación

Un ejemplo de cómo integrar geometría, álgebra y análisis en la enseñanza

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Introducción

 

José Antonio Mora, en un artículo publicado hace ya casi diez años, recogiendo una idea de otro artículo todavía anterior escrito juntamente con Francisco Jesús García, comenta:

 

Los métodos algebraicos tienen varios factores en contra: absorben de tal forma la atención del estudiante de matemática, que es muy difícil que llegue a explicar lo que busca cuando está en pleno proceso de resolución de una ecuación, por muy bien que aplique el algoritmo aprendido; aunque haya diferencias en el método, conceptualmente todas las ecuaciones proponen una misma tarea: la búsqueda de uno o varios valores numéricos que hacen que la igualdad se verifique o la comprobación de que esos valores no existen. Esta enseñanza basada básicamente en técnicas contribuye a las dificultades y la falta de interés de los estudiantes por la matemática, que se desaniman por la complejidad de los métodos utilizados.

 

Desde entonces, la situación ha variado menos de lo previsible. Sin embargo, existen Sistemas de Álgebra Computacional (siglas CAS, en inglés) que facilitan enormemente los cálculos basados en transformaciones algebraicas. Estos Sistemas incluyen capacidades de Cálculo Simbólico.

 

Dentro de este tipo de cálculo, se presenta el problema de operar con números irracionales. Para estos sistemas, la raíz cuadrada de 2, por ejemplo, no se maneja como una aproximación numérica resultante de aplicar un algoritmo convergente, sino como una entidad propia y exacta.

 

Ahora bien, esto plantea dos preguntas básicas:

 

1) Si raíz de 2 no es una aproximación decimal a ese número real, ¿cómo realiza los cálculos y transformaciones el sistema?

2) Si el sistema, de alguna forma, identifica raíz de 2 con su definición ("aquél número cuyo cuadrado es 2"), ¿cómo se las arregla para distinguir la raíz positiva de la negativa?

 

Intentar contestar a estas preguntas puede ser un excelente medio para introducirnos en la naturaleza de los números, al tiempo que desarrollamos estrategias y métodos geométricos, algebraicos y funcionales.

 

Algunas de las ideas que aquí aparecen de forma escueta se pueden ver desarrolladas en el libro de Tomás Recio, "Cálculo simbólico y geométrico" (1998). Recojo un párrafo que me parece especialmente interesante, que hace mención a su vez de la tesis "Una investigación sobre los esquemas conceptuales del continuo" (1993), de Carles Romero:

También C. Romero pone de manifiesto que el modo de escribir los números es, precisamente, la propiedad más relevante de estos para los alumnos: en una encuesta llevada a cabo por el citado autor entre alumnos de 16/17 años, resulta que 9 y 735 son asociados como objetos matemáticos "del mismo tipo" por el doble número de alumnos que los que asocian 9 y 5,3 x 104; y por veinte veces más alumnos que los que reconocen 9 y 2,9999... como números de la misma clase. De esta forma el concepto de número queda, frecuentemente, enmascarado por su representación decimal; y, cuando ésta no es finita, el número se convierte a los ojos del alumno, irremisíblemente, en la mera operación de aproximación, en un ente provisional, de otra categoría ontológica distinta a la de los números que pueden describirse de forma cerrada y terminada.

Sin embargo, vemos que en otros contextos, en los que el alumno sabe de antemano que no debe usar notación decimal (como por ejemplo, en los problemas escolares de simplificación de expresiones radicales, que involucran números como , etc.) el número irracional no supone ningún tipo de problemas: el alumno admite sin excesiva dificultad que es "una cantidad exacta" que es positiva y cuyo cuadrado es 2. Más que números "impropios", lo que el alumno parece considerar impropio es, fundamentalmente, su desarrollo decimal.

 

Las escenas

Todas las siguientes escenas interactivas han sido realizadas con Geogebra. Este excelente programa de geometría dinámica es además un magnífico recurso para el estudio numérico y funcional.

En cada escena, pulsar el botón Reproduce. Después, podemos ver si existen otros elementos (generalmente puntos azules) que podamos modificar.

 

Empecemos el viaje

 

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Rafael Losada Liste